Penerapan pada persamaan diferensial



PENERAPAN PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL

     A.    PERSAMAAN DIFERENSIAL
y’ = a y
dengan y = f(x) adalah sebuah fungsi tak diketahui yang akan ditentukan
                       y’ = dy/dx adalah turunannya
                       a = konstanta
Salah satu bentuk pemecahan persamaan di atas adalah fungsi yang berbentuk
                     y = c eax
dengan c adalah sebarang konstanta.
Masing – masing fungsi berbentuk seperti ini menyajikan pemecahan dari
                     y’ = a y karena
                     y’ = c a eax = a y
                     Suatu persamaan diferensial biasanya mempunyai pemecahan umum dan khusus. Ada kalanya soal fisis yang menghasilkan sebuah persamaan diferensial menentukan juga kondisi tambahan  tertentu. Misalnya, jika kita mengharuskan pemecahan y’ = a y memenuhi kondisi tambahan : y(0) = 3, yakni y = 3 bila x = 0, maka dengan subsitusi nila – nilai ini pada pemecahan umum y = c eax kita dapatkan nilai untuk  c, yaitu 3 = c e0 = c.
Jadi y = 3 eax adalah salah satunya pemecahan y’ = a y yang memenuhi kondisi tambahan tersebut. Sebuah kondisi yang menetapkan nilai pemecahan pada sebuah titik dinamakan kondisi awal dan masalah pemecahan persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal dinamakn masalah nilai awal.
Contoh :
a. Tuliskanlah sistem y1’ = 3 y1
                                          y2’ = -2 y2
                                          y3’ = 5 y3  dalam bentuk matriks
b. Pecahkanlah sistem tersebut
c. Carilah pemecahan sistem yang memenuhi kondisi awal y1(0) = 1, y2(0) = 4 dan y3(0) = -2
Penyelesaian :
a. atau Y’ = Y

b. Karena masing – masing persamaan hanya melibatkan satu fungsi tak diketahui, maka persamaan tersebut dapat dipecahkan dengan sendiri – sendiri, sehingga dapat diperolah
                     y1 = c1 e3x
                     y2 = c2 e-2x
                     y3 = c3 e5x
atau dengan notasi matriks y =
c. Dari kondisi – kondisi awal yang diberikan, kita peroleh
                     1 = y1(0) = c1 e0 = c1
                            4 = y2(0) = c2 e0 = c2
                            -2 = y3(0) = c3 e0 = c3
Sehingga pemecahan yang memenuhi kondisi awal adalah
                     y1 = e3x   y2 = 4 e-2x         y3 = c3 e5x
 dengan notasi matriks
                     y = =
Berikut ini prosedur untuk memecahkan sistem y’ = AY dengan matriks koefisien A yang    dapat didiagonalisasi :
Langkah 1. Carilah matriks P yang dapat mendiagonalisasi A
Langkah 2. Buatlah subsitusi Y = P U dan Y’ = P U’ untuk mendapatkan “sistem diadonal” yang baru U’ = D U, dimana D = P-1 A P.
Langkah 3. Pecahkanlah U’ = D U
Langkah 4. Tentukanlah Y dari persamaan Y = P U.
Contoh 2
a. Pecahkanlah y1’ = y1 + y2  dan y2’ = 4y1 – 2y2
b. Carilah pemecahan yang memenuhi kondisi awal y1(0) = 1 dan y2(0) = 6
Penyelesaian :
a. Matriks koefisien dari sistem tersebut di atas adalah
                     A =

Det ( I – A) =  
                        =
 = 0   ,
Nilai eigen dari A adalah ,
Menurut definisi x = adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan jika dan hanya jika x adalah sebuah pemecahan taktrivial dari ( I – A) x = 0, yakni dari
                     =
Untuk  sistem ini menjadi =
Sistem mempunyai pemecahan : x1 = t, x2 = t
Sehingga = = t
Jadi P1 = adalah sebuah basis untuk ruang eigen dengan dengan cara yang sama diperoleh basis untuk ruang eigen dengan , yakni
P2 = akhirnya diperoleh P = mendiagonalisasi A dan
D = P-1AP = SUBSSITUSI Y = P U DAN Y’ = P U menghasilkan “sistem diagonal” yang baru yaitu U’ = D U
U’ = atau u1’ = 2 u1 dan u2’ = -3 u2
Pemecahan sistem ini adalah u1 = c1 e2x daan u2 = c2 e-3x
Atau U = sehingga persamaan Y = P U menghasilkan Y sebagai pemecahan baru, yaitu  Y = =

b. Dengan subsitusi kondisi – kondisi awal yang diberikan, maka kita dapatkan
                     1 = c1 – ¼ c2
                            6 = c1 + c2
Dari persamaan di atas diperoleh c1 = 2, c2 = 4
Jadi pemecahan yang memenuhi kondisi – kondisi awal adalah
                     Y1 = 2 e2x – e-3x
                            Y2 = 2 e2x + 4 e-3x

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Penerapan Persamaan Diferensial dlm kehidupan sehari-hari

Barusan ibuku meletakkan ayam yang baru saja dikeluarkan dari oven, di atas meja. Suhu ayam  tersebut pada saat dikeluarkan dari oven sekitar 200 derajat celsius. Kemudian dia berpesan, "Nak, nanti kalau sudah mencapai suhu ruang, tolong masukkan ayam ini ke kulkas!" Waduh, suhu ruang saat ini sekitar 27 derajat celsius! Berapa waktu yang dibutuhkan bagi ayam untuk mencapai suhu 27 derajat Celsius??? Sepuluh menit berlalu dan sambil berfikir saya ambil thermometer untuk mengukur suhu ayam sekarang, ternyata sudah turun menjadi 140 derajat Celcius! Wah cepet juga. Menantang, pakai rumus apa yah? Instinct saya mengatakan ini adalah permasalahan yang harus diselesaikan dengan differential equation ordo satu! Laju penurunan suhu mungkin tidak linear melainkan exponentially decaying terhadap waktu. Dan suhu kamar akan menjadi terminal temperature (suhu yg dicapai pada saat t mendekati tak hingga) Haduh, malem-malem tambah kerjaan nih cari rumus. Tapi kebetulan karena kemaren ad...
Baca selengkapnya

Penerapan Konsep Matriks Dalam Kehidupan sehari-Hari

Pada pembahasan Bab Matriks pada kelas XI ini, kita akan membahas pendalaman matriks untuk kehidupan sehari-hari. Ada banyak fungsi matriks dalam kehidupan sehari-hari kita. Jangan berfikir bahwa pelajaran matriks adalah pelajaran yang tidak berguna untuk kehidupan sehari-hari. Sebelumnya, kita membahas pengertian dari matriks. Matriks adalah kumpulan bilangan , simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Penemu matriks adalah Arthur Cayley. Syarat – syarat suatu matriks :  Unsur – unsurnya terdiri dari bilangan – bilangan  Mempunyai baris dan kolom  Elemen – elemennya berbentuk persegi panjang dalam kurung biasa , kurung siku , atau kurung bergaris dua. Fungsi matriks dalam kehidupan sehari-hari :  Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, t...
Baca selengkapnya